Отговори на задачките от "Остров Ваал"

1.  Да предположим, че В е благородник. В такъв случай този е остров Мая, а А е негодник. Следователно твърдението на А, че В е благородник, а това е остров Мая, е невярно. Но ние допуснахме, че В е благородник. Тогава първата част от твърдението е вярна, следователно втората не е, което означава, че това не е остров Мая. Значи, ако В е благородник, това едновременно е и не е остров Мая. Следователно В трябва да е негодник.

Тъй като В е негодник, А също е негодник (защото А твърди, че В е благородник). А тъй като В е негодник, то твърдението му, че A е негодник и това е остров Мая, не е вярно. Но първата част от твърдението е вярна (защото А е негодник), следователно втората не е вярна и това не е остров Мая.

2. Очевидно А е негодник (един благородник никога няма да изкаже твърдението на А). Тъй като В се съгласява с А, той също е негодник. А лъже, което означава, че твърдението му, че: (1) и двамата са благородници и (2) това е остров Мая, е невярно. Но (1) е вярно, значи (2) трябва да е невярно. Следователно това не е остров Мая.

3. Тъй като В се съгласява с А, те са или едновременно благородници, или едновременно негодници. Ако и двамата са благородници, единият не може да е негодник – значи А лъже. Но това е невъзможно, защото А е благородник. Оказва се, че и двамата са негодници. Това показва, че А лъже. Но първата част от твърдението му е вярна (и двамата са негодници, така че поне единият е негодник). И от това следва, че втората част на твърдението е лъжа. Оказва се, че този остров не е Мая.

4. А определено е негодник, защото един благородник не може да каже това. Ако В е благородник, то съгласно неговото твърдение островът не е Мая. Ако В е негодник, тогава първата част от твърдението на А е вярна. Но А лъже, тъй като е негодник, от което следва, че втората част от твърдението му трябва да е невярна. Отново излиза, че това не е остров Мая.

5. А трябва да е пак негодник, а В може да е или благородник, или негодник, но и в двата случая островът не е Мая.

6. Ако А беше негодник, то и двете части на неговото дизюнктивно твърдение щяха да са неверни, което щеше да означава, че В е негодник. Тогава и двете части на дизюнктивното твърдение на В биха били неверни, така че А би бил благородник. Но това е противоречие, следователно А е благородник. Следователно неговото твърдение е вярно, което означава, че или В е благородник, или това е остров Мая. Ако втората алтернатива е вярна, тогава това е остров Мая. Да предположим, че първата алтернатива е вярна, т.е., че В е благородник. В такъв случай твърдението на В е вярно: “А е негодник или това е остров Мая.”  Но А не е негодник, затова първата алтернатива е невярна. Остава да бъде вярна втората алтернатива, така че този е остров Мая.
И за да завършим, видяхме, че или В е благородник, или островът е Мая. Но ако В е благородник, то островът пак е Мая. Следователно това действително е остров Мая.
И така, най-после открихме остров Мая.

7. Ако Е беше негодник, то би било вярно, че или Е е негодник, или С и D са от един и същ тип. Това означава, че един негодник изказва вярно твърдение, което е невъзможно. Значи Е е благородник. Следователно твърдението му е вярно, така че или той е негодник, или С и D са от един и същ тип. Но той не е негодник, следователно С и D са от един и същ тип.

Да допуснем, че С е негодник. Тогава А и В също ще са негодници. Тогава твърдението на D би било вярно, следователно D би бил благородник. Така С би бил негодник, а D – благородник, което противоречи на факта, че С и D са от един и същ тип. Следователно С е благородник, D – също. И тъй като С е благородник, то А и В не са едновременно негодници. При това положение истинската карта е или Х или Y.
Нека предположим, че Х е истинската карта. Тогава А е благородник, а В е негодник, противно на вярното твърдение на D, че или А е негодник, или В е благородник. Значи истинската карта не e Х, а Y.

8. Ако съществото е негодник, той ще е или негодник, или маймуна и неговото твърдение би било вярно, противно на факта, че е негодник. Следователно той е благородник. Това означава, че твърдението му е вярно, от което следва, че той или е негодник, или е маймуна. Но той не е негодник, значи е маймуна. Оказва се, че е маймуна благородник.

9. Очевидно съществото не е благородник, следователно е негодник и лъже. Тогава той е или благородник, или човек. Не е благородник, значи е човек. Излиза, че е човек негодник.

10. Да предположим, че съществото е негодник. Тогава би било вярно, че той не е и маймуна, и благородник. Следователно твърдението му е вярно, противно на допускането, че той е негодник. Следователно съществото е благородник. Тогава е вярно, че той не е и маймуна, и благородник. Ако беше маймуна, той щеше да е и маймуна, и благородник. Излиза, че е човек, при това благородник.

11. Не е възможно В да е негодник или неговото твърдение би било вярно. Следователно В е благородник. Значи твърдението му е вярно, така че А трябва да е негодник. Тогава твърдението на А е невярно, от което следва, че и двамата са хора. Следователно А е човек негодник, а В – човек благородник.

12. В трябва да е негодник, защото един благородник никога не може да изкаже такова твърдение. Тогава А и В не са и двамата негодници, така че А е благородник и съгласно неговото твърдение и двамата са маймуни. Следователно А е маймуна благородник, а В – маймуна негодник.

13. Да предположим, че В е благородник. Тогава и А е такъв (тъй като В казва това), следователно В би трябвало да бъде негодник и маймуна, което е противоречие. Така че В е негодник. От неговото твърдение следва, че А също е негодник. И тъй като първото твърдение на А не е вярно, то В не е негодник и маймуна. Но В е негодник, значи не е маймуна. Оказва се, че В е човек негодник. А от второто твърдение на А следва, че А е маймуна. Следователно А е маймуна негодник.

14. Първо ще докажем, че G е благородник. За да направим това, достатъчно е да покажем, че твърдението му е вярно. Значи необходимо е да докажем, че ако С е благородник, такъв е и F. Ще приемем, че С е благородник, а след това ще докажем, че и F е благородник.
Да предположим, че С е благородник. Тогава и А, и В са благородници. Значи Х е правилна врата, а също и Y, или Z е правилна.
Първи случай: Y е правилна врата. Тогава и X, и Y са правилни. В такъв случай D е благородник.
Втори случай: Z е правилна врата. Тогава и X и Z са правилни. В такъв случай Е е благородник.
Следователно или D или Е са благородници. Тогава твърдението на F е вярно и той е благородник.
Предположението ни, че С е благородник, води до извода, че F е благородник. Значи е истина, че ако С е благородник, такъв е и F. Това именно казва G, следователно той е благородник.
А сега ще докажем, че твърдението на Н е вярно. Той казва, че ако и G, и Н са благородници, такъв е и А. Да предположим, че Н е благородник. Тогава и G, и Н са такива. Вярно е също, че ако и G, и Н са благородници, такъв е и А (защото Н казва това, а ние приехме, че Н е благородник). Следователно, ако Н е благородник, тогава: (1) и G, и Н са благородници, (2) ако и G и Н са благородници, такъв е и А. От (1) и (2) следва, че А е благородник. Значи, ако Н е благородник, такъв е и А. Но това казва и Н, така че Н е благородник. Следователно неговото твърдение е вярно и тъй като и G и Н са благородници, то А също е благородник.
Сега знаем, че А е благородник. Следователно Х е наистина правилната врата. Затова мислителят би трябвало да избере нея.

15. Първият жрец не може да е благородник, той трябва да е негодник. Тогава неговото твърдение е невярно, което означава, че не е вярно, че е негодник и не знае отговора на Основния въпрос. Но той е негодник, затова първата част от твърдението му трябва да е невярна. Излиза, че той знае отговора. В такъв случай висшият жрец е негодник и знае отговора.

Що се отнася до втория жрец, нищо не можем да кажем за него, той е или благородник, който не знае отговора на въпроса, или е негодник. Но при всички случаи (а това е от съществено значение за решаването на следващата задача!), ако той знае отговора, тогава е негодник.

16. Установихме вече, че първият жрец знае отговора на въпроса и е негодник, а за другия разбрахме, че ако знае отговора, то той е негодник. Дадено ни е, че този, който казва: “Има нещо, а не нищо”, знае отговора. Следователно този, който казва това, е негодник. Тогава твърдението, че има нещо, е невярно. Това означава, че нищо не съществува.
Оказва се, че отговорът на въпроса, на който мислителят посветил целия си живот, е, че всъщност изобщо нищо не съществува. Тук обаче има нещо нередно – след като нищо не съществува, откъде се е взел жрецът, който казва това?

От книгата на Raymond M. Smullyan
“THE RIDDLE OF DRACULA AND OTHER LOGICAL PUZZLES”
PRENTICE-HALL, Inc., Engelwood Cliffs, New jersey, 1978